Wie man eine Spiegelung in Geometrie zeichnet

Definition der Reflexion in der Geometrie

In der Geometrie ist die Reflexion eine Transformation, bei der jeder Punkt in einer Form um die gleiche Entfernung über eine bestimmte Linie verschoben wird. Die Linie wird als Reflexionslinie bezeichnet.

Bei dieser Art der Transformation wird ein Spiegelbild einer Form erstellt, das auch als Flip bezeichnet wird.

Die ursprüngliche Form, die reflektiert wird, wird als Vorbild bezeichnet, während die reflektierte Form als reflektiertes Bild bezeichnet wird. Das reflektierte Bild hat die gleiche Größe und Form wie das Vorbild, nur dass es diesmal in die entgegengesetzte Richtung zeigt.

Beispiel für Reflexion in der Geometrie

Schauen wir uns ein Beispiel an, um die verschiedenen Konzepte der Reflexion besser zu verstehen.

Abbildung 1 zeigt eine Dreiecksform auf der rechten Seite des y-Achse ( Vorbild ), die über die y-Achse ( Reflexionslinie ) reflektiert wurde, wodurch ein Spiegelbild ( reflektiertes Bild ) entsteht.

Abb. 1. Beispiel für die Spiegelung einer Form über der Y-Achse

Die Schritte, die Sie ausführen müssen, um eine Form über eine Linie zu spiegeln, finden Sie weiter unten in diesem Artikel. Lesen Sie weiter, wenn Sie mehr wissen wollen!

Beispiele für Reflexion in der Geometrie aus dem wirklichen Leben

Denken wir darüber nach, wo wir Reflexionen in unserem täglichen Leben finden können.

a) Das offensichtlichste Beispiel ist, sich selbst im Spiegel zu betrachten und zu sehen, wie sich Ihr eigenes Bild darauf spiegelt, Ihnen gegenüber. Abbildung 2 zeigt eine niedliche Katze, die sich in einem Spiegel spiegelt.

Abb. 2. Beispiel für Reflexion aus dem wirklichen Leben - Eine Katze, die sich in einem Spiegel spiegelt

Was oder wer auch immer vor dem Spiegel ist, wird auf ihm reflektiert.

b) Ein anderes Beispiel könnte sein die Reflexion, die man im Wasser sieht. In diesem Fall kann das reflektierte Bild jedoch im Vergleich zum Original leicht verzerrt sein. Siehe Abbildung 3.

Abb. 3. Beispiel für Reflexion aus dem wirklichen Leben - Ein Baum, der sich im Wasser spiegelt

c) Sie können Reflexionen auch auf Dingen aus Glas finden, wie Schaufenster, Glastische usw. Siehe Abbildung 4.

Abb. 4. Beispiel für Reflexion aus dem wirklichen Leben - Menschen, die sich auf Glas spiegeln

Lassen Sie uns nun in die Regeln eintauchen, die Sie befolgen müssen, um Reflexionen in Geometry durchzuführen.

Reflexionsregeln in der Geometrie

Geometrische Formen auf der Koordinatenebene können über die x-Achse, über die y-Achse oder über eine Linie in der Form \(y = x\) oder \(y = -x\) gespiegelt werden. In den folgenden Abschnitten beschreiben wir die Regeln, die Sie jeweils befolgen müssen.

Reflexion über die x-Achse

Die Die Regel für die Reflexion über die X-Achse ist in der folgenden Tabelle dargestellt.

Art der Reflexion	Reflexionsregel	Regel Beschreibung
Reflexion über die x-Achse	\[(x, y) \rightarrow (x, -y)\]	Die x-Koordinaten der Eckpunkte, die Teil der Form sind, bleiben gleich . Die y-Koordinaten der Eckpunkte ändern das Vorzeichen .

Die Schritte, die Sie befolgen müssen, um eine Reflexion über die x-Achse durchzuführen, sind:

Schritt 1: Befolgen Sie die Reflexionsregel für diesen Fall, und ändern Sie das Vorzeichen der y-Koordinaten jedes Eckpunkts der Form , indem Sie sie mit \(-1\) multiplizieren. Der neue Satz von Eckpunkten entspricht den Eckpunkten des reflektiertes Bild.

\[(x, y) \rightarrow (x, -y)\]

Schritt 2: Zeichnen Sie die Eckpunkte des ursprünglichen und des gespiegelten Bildes auf der Koordinatenebene.

Schritt 3: Zeichnen Sie beide Formen, indem Sie die entsprechenden Eckpunkte mit geraden Linien verbinden.

Sehen wir uns dies an einem Beispiel genauer an.

Ein Dreieck hat die folgenden Eckpunkte \(A = (1, 3)\), \(B = (1, 1)\) und \(C = (3, 3)\). Spiegeln Sie es über die X-Achse.

Schritt 1: Ändern Sie das Zeichen der y-Koordinaten jedes Scheitelpunkts des ursprünglichen Dreiecks, um die Scheitelpunkte des reflektierten Bildes zu erhalten.

\[\begin{align}\textbf{Pre-image} &\rightarrow \textbf{Reflektiertes Bild} \\ \\(x, y) &\rightarrow (x, -y) \\ \\A= (1, 3) &\rightarrow A' = (1, -3) \\ \\B = (1, 1) &\Pfeil nach rechts B' = (1, -1) \\ \\C = (3, 3) &\Pfeil nach rechts C' = (3, -3)\end{align}\] Schritt 2 und 3: Zeichnen Sie die Eckpunkte des ursprünglichen und des reflektierten Bildes auf der Koordinatenebene und zeichnen Sie beide Formen.

Abb. 5. Beispiel für Reflexion über der x-Achse

: Beachten Sie, dass der Abstand zwischen den einzelnen Eckpunkten des Vorbilds und der Reflexionslinie (x-Achse) mit dem Abstand zwischen dem entsprechenden Scheitelpunkt auf dem reflektierten Bild und der Reflexionslinie identisch ist. Zum Beispiel sind die Eckpunkte \(B = (1, 1)\) und \(B' = (1, -1)\) beide 1 Einheit von der x-Achse entfernt.

Reflexion über die y-Achse

Die Regel für die Reflexion über die y-Achse lautet wie folgt:

Art der Reflexion	Reflexionsregel	Regel Beschreibung
Reflexion über die y-Achse	\[(x, y) \rightarrow (-x, y)\]	Die x-Koordinaten der Eckpunkte, die Teil der Form sind, ändern das Vorzeichen . Die y-Koordinaten der Eckpunkte bleiben gleich .

Die Schritte, die zum Ausführen einer Reflexion über die Y-Achse ausgeführt werden müssen, sind im Großen und Ganzen die gleichen wie die Schritte für die Reflexion über die X-Achse, aber der Unterschied beruht auf der Änderung der Reflexionsregel. Die Schritte in diesem Fall sind wie folgt:

Schritt 1: Befolgen Sie die Reflexionsregel für diesen Fall und ändern Sie das Vorzeichen der x-Koordinaten jedes Scheitelpunkts der Form , indem Sie sie mit \(-1\) multiplizieren. Der neue Satz von Scheitelpunkten entspricht den Scheitelpunkten des reflektierten Bildes.

\[(x, y) \rightarrow (-x, y)\]

Schritt 2: Zeichnen Sie die Eckpunkte des ursprünglichen und des reflektierten Bildes auf der Koordinatenebene.

Schritt 3: Zeichnen Sie beide Formen, indem Sie die entsprechenden Eckpunkte mit geraden Linien verbinden.

Schauen wir uns ein Beispiel an.

Ein Quadrat hat die folgenden Eckpunkte \(D = (1, 3)\), \(E = (1, 1)\), \(F = (3, 1)\) und \(G = (3, 3)\). Spiegeln Sie es über die Y-Achse.

Schritt 1: Ändern Sie das Vorzeichen der x-Koordinaten jedes Eckpunkts des ursprünglichen Quadrats, um die Eckpunkte des reflektierten Bildes zu erhalten.

\[\begin{align}\textbf{Pre-image} &\rightarrow \textbf{Reflektiertes Bild} \\ \\ \\(x, y) &\rightarrow (-x, y) \\ \\D= (1, 3) &\rightarrow D' = (-1, 3) \\ \\E = (1, 1) &\rightarrow E' = (-1, 1) \\ \\F = (3, 1) &\Pfeil nach rechts F' = (-3, 1) \\ \\G = (3, 3) &\rightarrow G' = (-3, 3)\end{align}\] Schritt 2 und 3: Zeichnen Sie die Eckpunkte des ursprünglichen und des reflektierten Bildes auf der Koordinatenebene und zeichnen Sie beide Formen.

Abb. 6. Beispiel für Reflexion über die y-Achse

Reflexion über die Linien y = x oder y = -x

Die Regeln für die Reflexion über die Linien \(y = x\) oder \(y = -x\) sind in der folgenden Tabelle aufgeführt:

Art der Reflexion	Reflexionsregel	Regel Regel Beschreibung
Reflexion über die Linie \(y = x\)	\[(x, y) \rightarrow (y, x)\]	Die x-Koordinaten und die y-Koordinaten der Eckpunkte, die Teil der Form sind, tauschen die Plätze .
Reflexion über der Linie \(y = -x\)	\[(x, y) \rightarrow (-y, -x)\]	In diesem case, die x-Koordinaten und die y-Koordinaten tauschen nicht nur die Plätze , sondern wechseln auch das Vorzeichen .

Die Schritte, die zu befolgen sind, um eine Spiegelung über die Linien \(y = x\) und \(y = -x\) durchzuführen, sind wie folgt:

Schritt 1: Wenn Sie über die Linie \(y = x\) reflektieren , vertauschen Sie die Positionen der x-Koordinaten und die y-Koordinaten der Eckpunkte der ursprünglichen Form.

\[(x, y) \Pfeil nach rechts (y, x)\]

Wenn Sie über die Linie \(y = -x\) reflektieren , neben dem Vertauschen der Positionen der x-Koordinaten und der y-Koordinaten der Eckpunkte der ursprünglichen Form müssen Sie auch deren Vorzeichen ändern, indem Sie sie mit \(-1\) multiplizieren.

\[(x, y) \rightarrow (-y, -x)\]

Der neue Satz von Eckpunkten entspricht den Eckpunkten des reflektiertes Bild.

Schritt 2: Zeichnen Sie die Eckpunkte des ursprünglichen und des reflektierten Bildes auf der Koordinatenebene.

Schritt 3: Zeichnen Sie beide Formen, indem Sie die entsprechenden Scheitelpunkte mit geraden Linien verbinden.

Hier sind ein paar Beispiele, um Ihnen zu zeigen, wie diese Regeln funktionieren. Zuerst führen wir eine Spiegelung über die Linie \(y = x\) durch.

Ein Dreieck hat die folgenden Eckpunkte \(A = (-2, 1)\), \(B = (0, 3)\) und \(C = (-4, 4)\). Spiegeln Sie es über die Linie \(y = x\).

Schritt 1 : Die Reflexion befindet sich über der Linie \(y = x\) , daher müssen Sie die Positionen der x-Koordinaten und die y-Koordinaten der Eckpunkte der ursprünglichen Form vertauschen, um die Eckpunkte des reflektierten Bildes zu erhalten.

\[\begin{align}\textbf{Vorbild} &\rightarrow \textbf{Reflektiertes Bild} \\ \\(x, y) &\rightarrow (y, x) \\ \\A= (-2, 1) &\rightarrow A' = (1, -2) \\ \\B = (0, 3) &\rightarrow B' = (3, 0) \\ \\C = (-4, 4) &\rightarrow C' = (4, -4)\end{align}\] Schritte 2 und 3 : Zeichnen Sie die Eckpunkte des ursprünglichen und des reflektierten Bildes auf der Koordinatenebene und zeichnen Sie beide Formen.

Abb. 7. Beispiel für eine Reflexion über die Linie \(y = x\) Sehen

wir uns nun ein Beispiel an, das über die Linie \(y = -x\) reflektiert

Ein Rechteck hat die folgenden Eckpunkte \(A = (1, 3)\), \(B = (3, 1)\), \(C = (4, 2)\) und \(D = (2, 4)\). Spiegeln Sie es über die Linie \(y = -x\).

Schritt 1: Die Reflexion erfolgt über der Linie \(y = -x\) , daher müssen Sie die Positionen der x-Koordinaten und die y-Koordinaten der Eckpunkte der ursprünglichen Form vertauschen und ihr Vorzeichen ändern, um die Eckpunkte von zu erhalten das reflektierte Bild.

\[\begin{align}\textbf{Pre-image} &\rightarrow \textbf{Reflektiertes Bild} \\ \\(x, y) &\rightarrow (-y, -x) \\ \\ \\A= (1, 3) &\rightarrow A' = (-3, -1) \\ \\B = (3, 1) &\rightarrow B' = (-1, -3) \\ \\C = (4, 2) &\rightarrow C' = (-2, -4) \\ \\D = (2, 4) &\rightarrow D' = (-4, -2)\end{align}\] Schritte 2 und 3: Plotten Sie die Eckpunkte des ursprünglichen und des reflektierten Bildes auf der Koordinatenebene, und zeichnen Sie beide Formen.

Abb. 8. Reflexion über die Linie \(y = -x\) Beispiel

Reflexionsformeln in der Koordinatengeometrie

Nachdem wir nun jeden Reflexionsfall einzeln untersucht haben, fassen wir die Formeln der Regeln zusammen, die Sie beim Reflektieren von Formen auf der Koordinatenebene beachten müssen:

Art der Reflexion	Reflexionsregel
Reflexion über die x-Achse	\[(x, y) \rightarrow (x, -y)\]
Reflexion über die y-Achse	\[(x, y) \rightarrow (-x, y)\]
Reflexion über die Linie \(y = x\)	\[(x, y) \rightarrow (y, x)\]
Reflexion über die Linie \(y = -x\)	\[(x, y) \rightarrow (-y, -x)\]

Reflexion in der Geometrie - Wichtige Erkenntnisse

In der Geometrie, Reflexion ist eine Transformation, bei der jeder Punkt in einer Form um die gleiche Entfernung über eine bestimmte Linie verschoben wird. Die Linie wird als Reflexionslinie bezeichnet.
Die ursprüngliche Form, die reflektiert wird, wird als Vorbild bezeichnet, während die reflektierte Form als reflektiertes Bild bezeichnet wird.
Wenn Sie eine Form über die x-Achse reflektieren, ändern Sie das Vorzeichen der y-Koordinaten jedes Eckpunkts der ursprünglichen Form, um die Eckpunkte des reflektierten Bildes.
Wenn Sie eine Form über die y-Achse reflektieren, ändern Sie das Vorzeichen der x-Koordinaten jedes Scheitelpunkts der ursprünglichen Form, um die Eckpunkte des reflektierten Bildes zu erhalten.
Wenn Sie eine Form über die Linie \(y = x\) reflektieren, vertauschen Sie die Positionen der x-Koordinaten und die y-Koordinaten der Eckpunkte der ursprünglichen Form, um die Eckpunkte des reflektierten Bildes zu erhalten.
Wenn Sie eine Form über die Linie \(y = -x\) reflektieren , vertauschen Sie die Positionen der X-Koordinaten und die Y-Koordinaten der Eckpunkte der ursprünglichen Form, und ändern Sie deren Vorzeichen, um die Eckpunkte des reflektierten Bildes zu erhalten.